คลิปเริ่มด้วยผลที่อาร์คิมีดีสพิสูจน์เกี่ยวกับทรงกระบอกและทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน แต่การบอกเพียงว่า “รัศมีเท่ากัน” ยังไม่พอจะกำหนดอัตราส่วนปริมาตร ต้องระบุความสูงของทรงกระบอกด้วย
ทำไมอัตราส่วนจึงเป็น 3:2
ให้ทรงกลมมีรัศมี r และทรงกระบอกมีรัศมี r เช่นกัน โดยกำหนดให้ทรงกระบอกสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม หรือ 2r ปริมาตรทรงกลมคือ V = 4/3πr³ ส่วนปริมาตรทรงกระบอกคือ V = πr²(2r) = 2πr³ ดังนั้นอัตราส่วนปริมาตรทรงกระบอกต่อทรงกลมเท่ากับ 2πr³ : 4/3πr³ = 3:2 และถ้าเรียงเป็นทรงกลมต่อทรงกระบอกจะเป็น 2:3
เงื่อนไขความสูง 2r เป็นส่วนสำคัญของผลนี้ หากเปลี่ยนความสูงทรงกระบอก อัตราส่วนก็เปลี่ยนตามไปด้วย
แนวคิดก่อนแคลคูลัสสมัยใหม่
คลิปเล่าว่าอาร์คิมีดีสใช้การแบ่งรูปเป็นชิ้นย่อยเพื่อให้เข้าใจพื้นที่และปริมาตร วิธีคิดลักษณะนี้ช่วยให้เห็นภาพการประมาณด้วยผลบวกย่อย แม้จะไม่ใช่นิยามปริพันธ์แบบที่ใช้ในแคลคูลัสสมัยใหม่ หนังสือ OpenStax อธิบายวิธี exhaustion และการประมาณพื้นที่ด้วยผลบวกในบท Approximating Areas
จึงควรแยกสองประเด็นออกจากกัน: อัตราส่วน 3:2 มาจากรูปทรงและเงื่อนไขข้างต้น ส่วนการใช้ชิ้นย่อยเป็นกรอบคิดทางประวัติศาสตร์ที่เชื่อมไปสู่แนวคิดลิมิตและปริพันธ์ในเวลาต่อมา