ถ้าบวกจำนวนเต็มบวกตามปกติ 1 + 2 + 3 + 4 + … ผลรวมยิ่งเพิ่มขึ้นและไม่มีค่าจำกัด ดังนั้นอนุกรมนี้ไม่ได้มีผลบวกธรรมดาเท่ากับ −1/12 ค่าที่คุ้นตานี้เกิดจากการต่อฟังก์ชันซีตาเชิงวิเคราะห์ ซึ่งเป็นการกำหนดค่าแบบ regularization คนละความหมายกับการบวกทีละจำนวน
ผลบวกปกติของ 1 + 2 + 3 + … เป็นเท่าไร
หยุดบวกไว้ที่จำนวนเต็มบวกตัวที่ n จะได้ผลรวมย่อย
Sₙ = 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
เมื่อ n เพิ่มขึ้น ค่า Sₙ ก็เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต เช่น เมื่อหยุดที่ 10 จะได้ 55 และเมื่อหยุดที่ 100 จะได้ 5,050 ลำดับผลรวมย่อยจึงไม่เข้าใกล้จำนวนจริงค่าหนึ่ง แต่เติบโตต่อไปไม่สิ้นสุด ตามนิยามผลบวกอนุกรมแบบมาตรฐาน อนุกรมนี้จึงลู่ออก และไม่มีผลบวกจำกัด
การพูดว่า “ผลบวกเท่ากับอนันต์” เป็นคำอธิบายว่าผลรวมย่อยโตขึ้นเรื่อย ๆ ไม่ได้หมายความว่าอนันต์เป็นจำนวนจริงอีกจำนวนหนึ่งที่นำมาแทนผลรวมได้
แล้วค่า −1/12 มาจากไหน
ฟังก์ชันซีตารีมันน์เริ่มจากอนุกรม ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + … ซึ่งนิยามด้วยอนุกรมนี้เมื่อส่วนจริงของ s มากกว่า 1 เท่านั้น เมื่ออยู่นอกช่วงนั้น นักคณิตศาสตร์ใช้ analytic continuation เพื่อขยายฟังก์ชันเดียวกันออกไป โดยมีขั้วอย่างง่ายที่ s = 1
เมื่อใช้การขยายดังกล่าวและแทน s = −1 จะได้ ζ(−1) = −1/12 ค่านี้เป็นค่าเฉพาะของฟังก์ชันซีตาที่ถูกต่อออกไป ไม่ใช่ลิมิตของผลรวมย่อย 1 + 2 + … + n ซึ่งยังคงเพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุด เอกสาร NIST Digital Library of Mathematical Functions ระบุทั้งช่วงที่อนุกรมนิยามฟังก์ชันซีตาได้ และสูตรค่าที่จำนวนเต็มลบไว้แยกกัน
ทำไมการจัดรูปในคำอธิบายยอดนิยมจึงดูเหมือนพิสูจน์ได้
คำอธิบายแบบย่อมักเริ่มจากอนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น 1 − 1 + 1 − 1 + … แล้วเลื่อนหรือจับกลุ่มพจน์เพื่อหา “ค่า” ของอนุกรมอื่น ขั้นตอนเหล่านี้ช่วยให้เห็นที่มาของปริศนา แต่การบวก ลบ เลื่อน หรือจัดกลุ่มพจน์ของอนุกรมอนันต์ใช้ได้ต่อเมื่อเงื่อนไขการลู่เข้าหรือกฎการรวมผลที่เลือกอนุญาต การใช้กฎของผลบวกจำกัดกับอนุกรมที่ยังไม่ลู่เข้าไม่ใช่บทพิสูจน์ของผลบวกธรรมดา
จึงควรแยกสองคำถามออกจากกัน: “ผลบวกย่อยเข้าใกล้ค่าใดเมื่อบวกไปเรื่อย ๆ” กับ “วิธี regularization ที่ระบุไว้กำหนดค่าใดให้อนุกรมนี้” คำตอบของสองคำถามไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน
Cesàro summation ให้ −1/12 หรือไม่
ถ้าหมายถึง Cesàro summation ลำดับที่หนึ่ง หรือ (C,1) วิธีนี้เฉลี่ยผลรวมย่อย ไม่ได้จัดกลุ่มพจน์โดยตรง สำหรับอนุกรมนี้ Sₖ = k(k + 1)/2 ดังนั้นค่าเฉลี่ยของผลรวมย่อยตั้งแต่ S₀ ถึง Sₙ คือ σₙ = (S₀ + S₁ + … + Sₙ)/(n + 1) = n(n + 2)/6 ซึ่งยังโตขึ้นตาม n และไม่มีลิมิตจำกัด อนุกรมนี้จึงไม่ได้มีค่า −1/12 ภายใต้นิยาม (C,1) มาตรฐาน
ใน transcript ที่จัดเก็บไว้มีข้อความเรียกค่า −1/12 ว่า Cesàro summation แต่ข้อสรุปนั้นไม่ตรงกับนิยาม (C,1) ของ NIST DLMF เนื่องจากยังไม่ได้ตรวจเสียง จึงระบุได้เพียงว่าข้อความใน transcript ต้องแก้หรืออธิบายวิธีอื่นให้ชัด ไม่สรุปว่าผู้พูดใช้คำนี้ตรงกับเสียงทุกคำ
Ramanujan Summation กับ zeta regularization
ชื่อคลิปใช้คำว่า Ramanujan Summation ส่วนคำอธิบายเรื่อง −1/12 มักกล่าวถึงฟังก์ชันซีตาด้วย บทความนี้อธิบายเส้นทางของ zeta regularization เพราะตรวจสอบนิยามและค่าที่เกี่ยวข้องได้จากแหล่งอ้างอิงโดยตรง ไม่ได้อ้างว่าการต่อฟังก์ชันซีตาเป็นคำจำกัดความเดียวของ Ramanujan summation หรือว่าผลบวกธรรมดาเปลี่ยนเป็น −1/12
เมื่อพบสมการ 1 + 2 + 3 + … = −1/12 ให้อ่านเป็นสัญกรณ์ย่อที่ต้องมีวิธี summation กำกับ หากไม่มีคำอธิบายนี้ เครื่องหมายเท่ากับจะทำให้เข้าใจผิดว่าผลรวมย่อยของจำนวนบวกเข้าใกล้จำนวนลบ
คำถามที่พบบ่อย
สรุปแล้ว 1 + 2 + 3 + … = −1/12 ถูกหรือผิด
ถ้าหมายถึงผลบวกอนุกรมตามนิยามปกติ ไม่ถูก เพราะผลรวมย่อยเพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุด แต่ถ้าหมายถึงค่า ζ(−1) ที่ได้จาก analytic continuation ค่านั้นเท่ากับ −1/12
ค่า −1/12 เป็นเรื่องแต่งหรือไม่
ไม่ใช่ค่าที่แต่งขึ้น ฟังก์ชันซีตารีมันน์ที่ต่อเชิงวิเคราะห์มีค่านี้ที่ s = −1 สิ่งที่ทำให้สับสนคือการนำค่าของฟังก์ชันไปเขียนเหมือนเป็นผลบวกปกติ โดยไม่บอกวิธีที่ใช้
จะตรวจคำอธิบายนี้ต่อได้จากที่ไหน
อ่านนิยามและสมบัติของฟังก์ชันซีตารีมันน์จาก NIST DLMF ตามลิงก์ในแหล่งอ้างอิง แล้วสำรวจช่องอื่นต่อจาก สารบัญช่อง YouTube หรือรายการทั้งหมดที่ สารบัญ playlist ส่วนวิดีโอต้นทางและ playlist ที่จับคู่กับบทความนี้อยู่ในกรอบแหล่งที่มาด้านล่าง
แหล่งอ้างอิง
- NIST DLMF §25.2: นิยามฟังก์ชันซีตารีมันน์ และ analytic continuation
- NIST DLMF §25.6: ค่าของฟังก์ชันซีตาที่จำนวนเต็มลบ
- NIST DLMF §1.15: นิยามการหาผลรวมแบบ Cesàro
ขอบเขตการตรวจ: ตรวจคำอธิบายเรื่องผลบวกธรรมดา, analytic continuation และค่า ζ(−1) กับ NIST DLMF §§25.2 และ 25.6 และเทียบความหมายของ Cesàro summation กับ §1.15 แล้ว Transcript ใช้ระบุขอบเขตหัวข้อเท่านั้น ยังไม่ได้ตรวจเสียงจากวิดีโอ